3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что LACO = LBDO, AO: OВ = 2: 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см.

Ответ: P_ACO = 14 см

• Дано: ∠ACO = ∠BDO, AO : OB = 2 : 3, P_BOD = 21 см.
• Найти: P_ACO.
• Рассмотрим треугольники ACO и BDO.
• ∠ACO = ∠BDO (по условию).
• ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные).
• Следовательно, ΔACO ~ ΔBDO (по двум углам).
• Из подобия следует, что \[\frac{AC}{BD} = \frac{CO}{DO} = \frac{AO}{BO} = \frac{2}{3}\]
• Периметр треугольника ACO: \[P_{ACO} = AC + CO + AO\]
• Периметр треугольника BOD: \[P_{BOD} = BD + DO + BO = 21\text{ см}\]
• Так как треугольники подобны, то \[\frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = \frac{AO}{BO} = \frac{2}{3}\]
• Отсюда \[P_{ACO} = \frac{2}{3} \cdot P_{BOD} = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14\text{ см}\]

Ответ: P_ACO = 14 см