2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ∠B = 70°, а в ДΜΝΚ MN = 6 см, NК = 9 см, N = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, СК = 60°.

Ответ: АC = 14 см, ∠C = 43.6°

• Дано: AB = 12 см, BC = 18 см, ∠B = 70°, MN = 6 см, NK = 9 см, ∠N = 70°, MK = 7 см, ∠K = 60°.
• Требуется найти: AC и ∠C.
• Заметим, что \[\frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2\] и \[\frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2\]
• Таким образом, \[\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = 2\] и ∠B = ∠N = 70°.
• Следовательно, ΔABC ~ ΔMNK по двум сторонам и углу между ними.
• Значит, \[\frac{AC}{MK} = 2\] откуда \[AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см}\]
• Теперь найдем угол C. Воспользуемся теоремой синусов для треугольника MNK: \[\frac{MK}{\sin N} = \frac{NK}{\sin M}\]
• Подставляем значения: \[\frac{7}{\sin 70^\circ} = \frac{9}{\sin M}\]
• Отсюда \[\sin M = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{7} ≈ 1.213\]
• Так как синус не может быть больше 1, происходит ошибка в данных. Вероятно, угол K должен быть 50 градусов. Предположим, что ∠K = 50°. Тогда ∠M = 180° - 70° - 50° = 60°.
• Следовательно, ∠A = 60°.
• Найдем угол C: ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 70° = 50°.
• Но в условии сказано, что угол K = 60°. Решим задачу, используя теорему синусов, чтобы найти угол C, без предположений об угле K.
• Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC: \[\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}\]
• Подставляем значения: \[\frac{12}{\sin C} = \frac{14}{\sin 70^\circ}\]
• Отсюда \[\sin C = \frac{12 \cdot \sin 70^\circ}{14} ≈ 0.895\]
• ∠C = arcsin(0.895) ≈ 63.6°

Ответ: АC = 14 см, ∠C = 63.6°