1. Отрезки КМ и EF являются диаметрами окружности с центром О. Докажите, что: а) ∠FEM = ∠KME; б) отрезки КЕ и MF равны.

Решение:

а) Рассмотрим окружность с центром O, где KM и EF - диаметры. Пусть ∠FEM = α. Тогда, так как KM - диаметр, то ∠EKM - вписанный угол, опирающийся на диаметр, и, следовательно, ∠EKM = 90°. Аналогично, ∠EFM = 90°, так как опирается на диаметр KM.

Рассмотрим треугольник FEM. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠FME = 180° - ∠FEM - ∠EFM = 180° - α - 90° = 90° - α.

Теперь рассмотрим треугольник KME. ∠KME = ∠KFE, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу KE. Значит, ∠KME = ∠FEM = α.

Таким образом, ∠FEM = ∠KME = α.

б) Так как ∠FEM = ∠KME, то дуги, на которые опираются эти углы, равны, то есть дуга FE равна дуге KE. Следовательно, хорды, стягивающие эти дуги, также равны: KE = MF.

Ответ: доказано