4. В окружности с центром О проведены хорды АВ и CD. Докажите, что АВ = CD, если ∠AOC = ∠BOD.

Решение:

1) Дано: окружность с центром O, хорды AB и CD, ∠AOC = ∠BOD.

2) Рассмотрим ∠AOD = ∠AOC - ∠DOC и ∠BOC = ∠BOD - ∠DOC. Так как ∠AOC = ∠BOD, то ∠AOD = ∠BOC.

3) Если центральные углы ∠AOD и ∠BOC равны, то дуги, на которые они опираются, также равны: дуга AD = дуге BC.

4) Следовательно, хорды, стягивающие эти дуги, равны: AD = BC.

5) Рассмотрим треугольники AOB и COD. OA = OB = OC = OD = радиусу окружности.

6) ∠AOB = ∠AOC + ∠COB и ∠COD = ∠BOD + ∠COB. Так как ∠AOC = ∠BOD, то ∠AOB = ∠COD.

7) Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (OA = OC, OB = OD, ∠AOB = ∠COD).

8) Следовательно, AB = CD.

Ответ: доказано