3. В окружности с центром О проведены диаметр АС и радиус ОВ так, что хорда ВС равна радиусу. Найти ∠ АОВ, если ∠ ВСО = 60°.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник BCO. Так как BC = OB = радиусу, треугольник BCO - равнобедренный. Значит, углы при основании OC равны: ∠BCO = ∠BOC = 60°.

2) Найдем угол OBC. Так как сумма углов в треугольнике BCO равна 180°, то ∠OBC = 180° - ∠BCO - ∠BOC = 180° - 60° - 60° = 60°.

3) Таким образом, треугольник BCO - равносторонний, и OC = BC = OB = радиусу.

4) Так как AC - диаметр, то ∠AOC = 180°. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180° - 60° = 120°.

Ответ: 120°