2. Отрезки МЕ и РК являются диаметрами окружности с центром О. Докажите, что: а) ∠EMP = ∠ MPK; б) отрезки МК и РЕ равны.

Доказательство:

1. Отрезки ME и PK - диаметры окружности с центром O. Это означает, что точки M, E, P, K лежат на окружности, а отрезки ME и PK проходят через центр O.

a) Докажем, что ∠EMP = ∠MPK:

1. ∠EMP и ∠MPK - вписанные углы, опирающиеся на хорды MP и KE соответственно.
2. Так как ME и PK - диаметры, то дуги MK и PE равны (как половины окружности).
3. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, ∠EMP = ∠MPK.

б) Докажем, что отрезки MK и PE равны:

1. Рассмотрим треугольники ΔMOK и ΔPOE.
2. MO = OP (как радиусы окружности).
3. OK = OE (как радиусы окружности).
4. ∠MOK = ∠POE (как вертикальные углы, так как ME и PK пересекаются в центре O).
5. Следовательно, ΔMOK = ΔPOE по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что MK = PE.

Ответ: Углы ∠EMP и ∠MPK равны, отрезки MK и PE равны, что и требовалось доказать.