4. Отрезки SM и HN пересекаются в точке А, и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ∠ASH = ∠AMN.

Дано: SM и HN пересекаются в точке A; SA = AM; HA = AN.

Доказать: ∠ASH = ∠AMN.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники SAH и MAN:
• SA = AM (по условию).
• HA = AN (по условию).
• ∠SAH = ∠MAN (вертикальные углы).
2. Следовательно, треугольники SAH и MAN равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: ∠ASH = ∠AMN.

Что и требовалось доказать.