3. Отрезок \(AB = 48) касается окружности радиуса 14 с центром \(O) в точке \(B\). Окружность пересекает отрезок \(AO) в точке \(D\). Найдите \(AD\).

Пусть \(O) – центр окружности, \(B) – точка касания, и \(AB) – касательная к окружности. Тогда \(OB) – радиус окружности, проведенный в точку касания, и \(OB) перпендикулярен \(AB\). Таким образом, треугольник \(ABO) – прямоугольный с прямым углом при вершине \(B\). Дано: \(AB = 48\), \(OB = 14\). Используем теорему Пифагора для треугольника \(ABO\): \[AO^2 = AB^2 + OB^2\] \[AO^2 = 48^2 + 14^2\] \[AO^2 = 2304 + 196\] \[AO^2 = 2500\] \[AO = \sqrt{2500} = 50\] Теперь мы знаем, что \(AO = 50\). Также известно, что \(OD) – радиус окружности, поэтому \(OD = 14\). Поскольку точка \(D) лежит на отрезке \(AO\), то \(AD = AO - OD\). \[AD = 50 - 14 = 36\] Таким образом, \(AD = 36\). Ответ: 36