Отрезок AB длины a разделён точками P и Q на три отрезка AP, PQ и QB так, что AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояния: а) между точками A и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков AP и QB.

Пусть \(PQ=QB=x\). Тогда \(AP=2x\), а \(AB=2x+x+x=4x\), следовательно, \(x=\frac a4\).

а) Середина отрезка QB находится на расстоянии \(AP+PQ+\frac{QB}{2}\) от точки A:

\[2x+x+\frac{x}{2}=\frac{7x}{2}=\frac{7a}{8}.\]

б) Середина AP находится на расстоянии \(x\) от A, а середина QB — на расстоянии \(\frac{7x}{2}\) от A. Расстояние между ними:

\[\frac{7x}{2}-x=\frac{5x}{2}=\frac{5a}{8}.\]

Ответ: а) \(\frac{7a}{8}\); б) \(\frac{5a}{8}\).