4. Отрезок DM - биссектриса $$\triangle CDE$$. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если $$\angle CDE = 68^\circ$$.

1. Поскольку DM – биссектриса $$\angle CDE$$, то $$\angle CDM = \angle MDE = \frac{1}{2} \angle CDE = \frac{1}{2} \cdot 68^\circ = 34^\circ$$. 2. Прямая MN параллельна CD, следовательно, $$\angle DMN = \angle CDM$$ как внутренние накрест лежащие углы. Таким образом, $$\angle DMN = 34^\circ$$. 3. Также, поскольку MN || CD, то $$\angle DNM = \angle DCE$$ как соответственные углы. Поскольку $$\triangle CDE$$ - равнобедренный (так как DM - биссектриса и высота), то $$\angle DCE = \angle DEC$$. 4. Найдем $$\angle DEC$$ (он же $$\angle DCE$$). Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому $$\angle DEC = \angle DCE = \frac{180^\circ - \angle CDE}{2} = \frac{180^\circ - 68^\circ}{2} = \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ$$. 5. Следовательно, $$\angle DNM = 56^\circ$$. 6. Теперь мы знаем два угла в $$\triangle DMN$$. Найдем третий угол $$\angle MDN$$: $$\angle MDN = 180^\circ - \angle DMN - \angle DNM = 180^\circ - 34^\circ - 56^\circ = 90^\circ$$. **Ответ: $$\angle DMN = 34^\circ$$, $$\angle DNM = 56^\circ$$, $$\angle MDN = 90^\circ$$.**