14.26. Отрезок MC — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью AMD равен 45°. Найдите площадь квадрата, если точка M удалена от прямой AD на 10 см.

Решение: 1. Пусть сторона квадрата равна a. Так как MC перпендикулярна плоскости квадрата, то MC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, MC перпендикулярна AD. 2. Пусть MH – перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую AD. По условию, MH = 10 см. Так как MC перпендикулярна плоскости квадрата, то плоскость квадрата перпендикулярна MC. Значит, угол между плоскостями AMD и ABCD – это угол между MH и плоскостью квадрата, то есть угол между MH и прямой, лежащей в плоскости квадрата и перпендикулярной AD. 3. Так как ABCD – квадрат, то AD перпендикулярна AB. Следовательно, угол между MH и плоскостью квадрата – это угол между MH и AB, то есть угол MHA. По условию, угол MHA = 45°. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник MHC. В нем угол MHA = 45°, значит, треугольник MHC – равнобедренный, и MC = HC. Так как MH – перпендикуляр к AD, то HC – расстояние от точки H до прямой AD. Так как ABCD – квадрат, то HC = a. 5. Тогда MC = a. 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник MHC. По теореме Пифагора: $$MC^2 + HC^2 = MH^2$$ $$a^2 + a^2 = 10^2$$ $$2a^2 = 100$$ $$a^2 = 50$$ 7. Площадь квадрата равна $$a^2$$, то есть 50. Ответ: 50 кв. см.