14.23. Точка D равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ABC (∠ACB = 90°). Найдите угол между плоскостями ABC и ACD, если AC = BC = 2 см, а точка D удалена от плоскости ABC на √3 см.

Решение: Пусть D проецируется в точку O на плоскость ABC. Так как DA = DB = DC, то O – центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC. Значит, O – середина AB. 1. Найдем AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$. 2. Тогда AO = $$\frac{1}{2}AB = \sqrt{2}$$. 3. Рассмотрим треугольник ADO. Он прямоугольный (DO перпендикулярна плоскости ABC). $$DO = \sqrt{3}$$ (по условию). 4. Найдем тангенс угла DAO: $$tg(\angle DAO) = \frac{DO}{AO} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$. 5. $$\angle DAO = arctg(\sqrt{\frac{3}{2}})$$. 6. Так как DA = DC, треугольник DAC – равнобедренный. AO – медиана (O – середина AC). Значит, DO – высота, и DO перпендикулярна AC. Угол между плоскостями ABC и ACD – это угол между DO и AO, то есть угол DAO. Ответ: Угол между плоскостями ABC и ACD равен $$arctg(\sqrt{\frac{3}{2}})$$. Ответ: $$\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$$