14.24. Точка D равноудалена от вершин равностороннего треугольника ABC. Найдите угол между плоскостями ABC и ABD, если AB = 12 см, а точка D удалена от плоскости ABC на 2 см.

Решение: Пусть D проецируется в точку O на плоскость ABC. Так как DA = DB = DC, то O – центр окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC. Значит, O – точка пересечения медиан, биссектрис и высот. 1. Найдем AO. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой. Высота $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$. 2. AO составляет $$\frac{2}{3}$$ высоты, то есть $$AO = \frac{2}{3} * 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$. 3. Рассмотрим треугольник ADO. Он прямоугольный (DO перпендикулярна плоскости ABC). DO = 2 (по условию). 4. Найдем тангенс угла DAO: $$tg(\angle DAO) = \frac{DO}{AO} = \frac{2}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$. 5. $$\angle DAO = arctg(\frac{\sqrt{3}}{6})$$. 6. Так как DA = DB, треугольник DAB – равнобедренный. DO – высота (DO перпендикулярна плоскости ABC), значит, DO – медиана, и O – середина AB. Угол между плоскостями ABC и ABD – это угол между DO и AO, то есть угол DAO. Ответ: $$arctg(\frac{\sqrt{3}}{6})$$