P_△ABC = 52, AB = BC, AM = BM, BN = CN, MN < AC на 9. Найти: P_AMNC.

M и N — середины AB и BC, поэтому MN — средняя линия треугольника ABC: \(MN=\frac{AC}{2}\). По условию MN на 9 меньше AC, значит:

\(AC-MN=9\), следовательно \(AC-\frac{AC}{2}=9\), откуда \(AC=18\) и \(MN=9\).

Пусть \(AB=BC=x\). Из периметра ABC получаем:

\(2x+18=52\), \(2x=34\), \(x=17\).

Тогда \(AM=\frac{17}{2}\), \(NC=\frac{17}{2}\), и периметр четырёхугольника AMNC равен:

\(P_{AMNC}=AM+MN+NC+CA=\frac{17}{2}+9+\frac{17}{2}+18=44\).

Ответ: 44.