Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказать один из признаков).

Признаки параллелограмма: 1. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD AB = CD и BC = AD. Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них сторона AC – общая, AB = CD и BC = AD по условию. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠BCA = ∠CAD и ∠BAC = ∠DCA. Из равенства этих углов следует, что BC || AD и AB || CD. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм, по определению. 2. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD AB = CD и AB || CD. Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них сторона AC – общая, AB = CD по условию и ∠BAC = ∠DCA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠BCA = ∠CAD. Из равенства этих углов следует, что BC || AD. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и следовательно, он - параллелограмм. 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм. Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причем AO = OC и BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC, BO = OD по условию, и ∠AOB = ∠COD как вертикальные. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠OAB = ∠OCD. Из равенства этих углов следует, что AB || CD. Таким образом, в четырехугольнике ABCD две противоположные стороны равны и параллельны, и следовательно, он - параллелограмм.