Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч большей, чем полагалась по расписанию. Какова была скорость поезда по расписанию?

Решение задачи о поезде

Давай обозначим неизвестные и составим уравнение.

Обозначения:

• Пусть \( v \) — скорость поезда по расписанию (км/ч).
• Тогда \( v+10 \) — фактическая скорость поезда (км/ч).
• Расстояние, на котором поезд нагнал опоздание, \( S = 80 \) км.
• Опоздание \( t_{опозд.} = 16 \) мин.

Переведем опоздание в часы:

\( t_{опозд.} = 16 \text{ мин} = \frac{16}{60} \text{ ч} = \frac{4}{15} \text{ ч} \)

Время движения по расписанию и фактически:

• Время движения по расписанию на этом участке: \( t_{расп.} = \frac{S}{v} = \frac{80}{v} \) (ч)
• Фактическое время движения на этом участке: \( t_{факт.} = \frac{S}{v+10} = \frac{80}{v+10} \) (ч)

Составим уравнение:

Разница между временем по расписанию и фактическим временем равна времени опоздания:

\( t_{расп.} - t_{факт.} = t_{опозд.} \)

\( \frac{80}{v} - \frac{80}{v+10} = \frac{4}{15} \)

Решим уравнение:

1. Приведем к общему знаменателю: \( 15v(v+10) \)
2. \( \frac{80 \times 15(v+10)}{15v(v+10)} - \frac{80 \times 15v}{15v(v+10)} = \frac{4 \times v(v+10)}{15v(v+10)} \)
3. Умножим числители:
4. \( 1200(v+10) - 1200v = 4v(v+10) \)
5. \( 1200v + 12000 - 1200v = 4v^2 + 40v \)
6. \( 12000 = 4v^2 + 40v \)
7. Перенесем все в одну сторону и разделим на 4:
8. \( 4v^2 + 40v - 12000 = 0 \)
9. \( v^2 + 10v - 3000 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-3000) = 100 + 12000 = 12100 \)
• \( √{D} = √{12100} = 110 \)
• \( v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
• \( v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \)
11. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: Скорость поезда по расписанию была 50 км/ч.