Упростите выражение (2/(x²-4) + 1/(2x-x²)) : 1/(x²+4x+4)

Упрощение выражения

Давай упростим это сложное выражение по частям.

Шаг 1: Упрощаем выражение в первой скобке.

\( \frac{2}{x^2-4} + \frac{1}{2x-x^2} \)

1. Разложим знаменатели на множители:
• \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \) (разность квадратов)
• \( 2x - x^2 = x(2-x) = -x(x-2) \)
2. Приведем к общему знаменателю. Заметим, что \( x-2 \) и \( 2-x \) отличаются знаком. Поэтому \( \frac{1}{2x-x^2} = \frac{1}{-x(x-2)} = \frac{-1}{x(x-2)} \)
3. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{-1}{x(x-2)} \)
4. Общий знаменатель будет \( x(x-2)(x+2) \)
5. Приводим к общему знаменателю:
• \( \frac{2 \times x}{x(x-2)(x+2)} + \frac{-1 \times (x+2)}{x(x-2)(x+2)} \)
• \( \frac{2x - (x+2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{2x - x - 2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x(x-2)(x+2)} \)
6. Сокращаем \( (x-2) \):
• \( \frac{1}{x(x+2)} \)

Шаг 2: Упрощаем второе выражение (делитель).

\( \frac{1}{x^2+4x+4} \)

1. Разложим знаменатель на множители (это полный квадрат):
• \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \)
2. Так что второе выражение: \( \frac{1}{(x+2)^2} \)

Шаг 3: Выполняем деление.

Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

\( \frac{1}{x(x+2)} : \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{1}{x(x+2)} \times \frac{(x+2)^2}{1} \)

1. Сокращаем \( (x+2) \):
• \( \frac{1}{x} \times \frac{x+2}{1} = \frac{x+2}{x} \)

Ответ: \( \frac{x+2}{x} \)