4. Периметр и основание одного равнобедренного треу- гольника равны периметру и основанию другого рав- нобедренного треугольника. Докажите, что такие тре- угольники равны.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: ΔABC с основанием AC и ΔA₁B₁C₁ с основанием A₁C₁.

Известно, что периметры треугольников равны: P(ΔABC) = P(ΔA₁B₁C₁) и основания равны: AC = A₁C₁.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: P(ΔABC) = AB + BC + AC, P(ΔA₁B₁C₁) = A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁.

Так как треугольники равнобедренные, то AB = BC и A₁B₁ = B₁C₁.

Тогда P(ΔABC) = 2AB + AC, P(ΔA₁B₁C₁) = 2A₁B₁ + A₁C₁.

Из условия P(ΔABC) = P(ΔA₁B₁C₁) и AC = A₁C₁ следует, что 2AB + AC = 2A₁B₁ + A₁C₁.

Вычитая AC = A₁C₁ из обеих частей, получим 2AB = 2A₁B₁, следовательно, AB = A₁B₁.

Таким образом, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁ (так как AB = BC и A₁B₁ = B₁C₁).

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам.

Ответ: Доказано, что данные треугольники равны.