3). Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 5√3 Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

3) Дано: периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен $$P_3 = 5\sqrt{3}$$.

Найти: периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности $$P_6$$.

Решение:

Пусть $$a_3$$ - сторона правильного треугольника, тогда $$P_3 = 3a_3$$. Отсюда $$a_3 = \frac{P_3}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$.

Пусть R - радиус окружности, описанной около треугольника, тогда $$a_3 = R\sqrt{3}$$. Отсюда $$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{5}{3}$$.

Пусть $$b_6$$ - сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса R, тогда $$b_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$$.

В нашем случае: $$b_6 = \frac{2 \cdot \frac{5}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{9}$$.

Периметр правильного шестиугольника $$P_6 = 6b_6 = 6 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{9} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: Периметр правильного шестиугольника равен $$\frac{20\sqrt{3}}{3}$$.