Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Периметр прямоугольника равен 14 см, а диагональ равна 5 см. Тогда имеем систему уравнений:

$$2(a + b) = 14$$

$$a^2 + b^2 = 5^2$$

Из первого уравнения выразим сумму сторон:

$$a + b = 7$$

Выразим a через b:

$$a = 7 - b$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(7 - b)^2 + b^2 = 25$$

$$49 - 14b + b^2 + b^2 = 25$$

$$2b^2 - 14b + 49 - 25 = 0$$

$$2b^2 - 14b + 24 = 0$$

$$b^2 - 7b + 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно b. Найдем дискриминант:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$

$$b_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$b_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Теперь найдем соответствующие значения a:

$$a_1 = 7 - b_1 = 7 - 4 = 3$$

$$a_2 = 7 - b_2 = 7 - 3 = 4$$

Получаем два решения: (3, 4) и (4, 3). Так как это стороны прямоугольника, то порядок не важен.

Площадь прямоугольника равна:

$$S = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12$$

Ответ: 12 см²