12. Периметр равнобедренного треугольника равен 98, а основание – 40. Найдите площадь треугольника.

Пусть $$P$$ - периметр треугольника, $$a$$ - основание, $$b$$ - боковая сторона. Дано: $$P = 98$$, $$a = 40$$. Так как треугольник равнобедренный, то две его стороны равны. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: $$P = a + 2b$$. Подставляем известные значения: $$98 = 40 + 2b$$. Выражаем $$b$$: $$2b = 98 - 40 = 58$$. $$b = \frac{58}{2} = 29$$. Теперь найдем высоту $$h$$, проведенную к основанию. Так как треугольник равнобедренный, высота является также медианой и делит основание пополам. Поэтому, образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $$b = 29$$ и катетом, равным половине основания: $$\frac{a}{2} = \frac{40}{2} = 20$$. По теореме Пифагора: $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$$. $$h^2 + 20^2 = 29^2$$. $$h^2 + 400 = 841$$. $$h^2 = 841 - 400 = 441$$. $$h = \sqrt{441} = 21$$. Теперь найдем площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} * a * h$$. $$S = \frac{1}{2} * 40 * 21 = 20 * 21 = 420$$. **Ответ: 420**