17. Периметр равнобедренного треугольника равен 162, а основание - 56 (см. рис. 281). Найдите площадь треугольника.

Пусть $$P$$ - периметр треугольника, $$a$$ - основание, $$b$$ - боковая сторона. Тогда $$P = a + 2b$$. Отсюда $$162 = 56 + 2b$$. $$2b = 162 - 56 = 106$$. $$b = 53$$. Высота $$h$$, опущенная на основание, является также медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора, $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$$. $$h^2 + (\frac{56}{2})^2 = 53^2$$. $$h^2 + 28^2 = 53^2$$. $$h^2 + 784 = 2809$$. $$h^2 = 2809 - 784 = 2025$$. $$h = \sqrt{2025} = 45$$. Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot 45 = 28 \cdot 45 = 1260$$. Ответ: **1260**