674. Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его стор образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определи длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения мог принимать длины сторон треугольника, выраженные в сант метрах?

Пусть стороны треугольника равны \( a-d, a, a+d \). Тогда периметр \( P = (a-d) + a + (a+d) = 3a \). По условию, \( P = 24 \) см, следовательно, \( 3a = 24 \), откуда \( a = 8 \) см.

Итак, одна из сторон треугольника равна 8 см. Теперь определим возможные значения длин сторон. Для этого используем неравенство треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

• \( (a-d) + a > a+d \Rightarrow a-d > d \Rightarrow a > 2d \Rightarrow 8 > 2d \Rightarrow d < 4 \)
• \( (a-d) > 0 \Rightarrow a > d \Rightarrow 8 > d \)

Таким образом, \( d \) может принимать значения от 0 до 4 (не включая 4), то есть \( d \in (0, 4) \). Если \( d = 0 \), то все стороны равны 8 см. Если \( d = 1 \), то стороны равны 7, 8, 9 см. Если \( d = 2 \), то стороны равны 6, 8, 10 см. Если \( d = 3 \), то стороны равны 5, 8, 11 см.

Таким образом, возможные целые значения длин сторон треугольника в сантиметрах:

• (8, 8, 8)
• (7, 8, 9)
• (6, 8, 10)
• (5, 8, 11)