675. Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что один из них равен 60°. Верно ли утверждение, что если (ад) - грессия, то: а) последовательность а2; A4; ...; A2n ской прогрессией;

Пусть углы треугольника равны \( a-d, a, a+d \). Тогда сумма углов треугольника равна \( (a-d) + a + (a+d) = 3a \). По теореме о сумме углов треугольника, \( 3a = 180^\circ \), следовательно, \( a = 60^\circ \). Таким образом, один из углов треугольника равен 60°.

а) Последовательность \( a_2, a_4, ..., a_{2n} \) является арифметической прогрессией

Если \( a_n \) — арифметическая прогрессия, то \( a_n = a_1 + (n-1)d \), где \( d \) — разность прогрессии. Рассмотрим последовательность \( a_2, a_4, ..., a_{2n} \). Тогда \( a_2 = a_1 + d, a_4 = a_1 + 3d, ..., a_{2n} = a_1 + (2n-1)d \). Разность между соседними членами этой последовательности равна \( a_{2(n+1)} - a_{2n} = (a_1 + (2(n+1)-1)d) - (a_1 + (2n-1)d) = (a_1 + (2n+1)d) - (a_1 + (2n-1)d) = 2d \), что является постоянной величиной.

Следовательно, последовательность \( a_2, a_4, ..., a_{2n} \) также является арифметической прогрессией.