2. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит ее на отрезки, равные 1 см и 4 см. Найдите площадь ромба.

Пусть ромб ABCD, точка O - точка пересечения диагоналей. Перпендикуляр OE проведен к стороне AB. По условию, AE = 1 см, EB = 4 см. Следовательно, сторона ромба AB = AE + EB = 1 + 4 = 5 см. Поскольку перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на сторону ромба, является высотой прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, а также медианой, то можем использовать подобие треугольников. Пусть высота ромба равна h. Площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту: S = a * h, где a - сторона ромба. Также, площадь ромба можно найти через диагонали: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба. В нашем случае, у нас есть сторона ромба (5 см), и перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к стороне (который равен половине высоты ромба). Нам нужно найти высоту ромба, чтобы вычислить площадь. Заметим, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине высоты ромба. Так как OE является перпендикуляром, то OE = h/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Обозначим половинки диагоналей как x и y. Тогда x^2 + y^2 = 5^2 = 25. Высота ромба h является удвоенным перпендикуляром, опущенным из точки пересечения диагоналей, то есть OE = h/2. Рассмотрим подобие треугольников. OE - высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу. Тогда OE^2 = AE * EB, то есть (h/2)^2 = 1 * 4 = 4. Значит, (h^2)/4 = 4, следовательно, h^2 = 16, и h = 4 см. Теперь можно найти площадь ромба: S = a * h = 5 * 4 = 20 кв. см. Ответ: **20 кв. см**