Первая задача: На стороне BC прямоугольника ABCD отметили точку S, а на луче DA - точку P (см. рисунок). Прямые PS и DC пересекаются в точке F. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если AP = SC = 5, BS = CF = 4.

Пусть AB = x, AD = y. Тогда BC = AD = y, DC = AB = x. Так как AP = SC = 5 и BS = CF = 4, то y = AP + PD = SC + BS = 5 + BS, то есть BS = y - 5 = 4, значит y = 9. Так как PD = AD - AP, PD = 9 - 5 = 4. Аналогично, SC = 5, CF = 4, BF = BC - FC = 9 - 4 = 5. Рассмотрим треугольник APD и BFS. Они подобны, так как \(\angle APD = \angle BFS\) как вертикальные углы и \(\angle ADP = \angle FBC = 90^\circ\). Значит, \(\frac{AP}{BF} = \frac{PD}{BS}\), \(\frac{5}{x} = \frac{4}{4}\), откуда x = \(\frac{5}{1}\) = 5. Тогда, периметр прямоугольника ABCD равен 2(AB + AD) = 2(5 + 9) = 2 * 14 = 28. Ответ: 28