Третья задача: В трапеции ABCD большее основание AD равно 12. Биссектриса угла ADC пересекает диагональ AC в точке K и сторону AB в точке N. Найдите длину основания BC, если AK : KC = 5 : 7 и AN : NB = 6 : 5.

В трапеции ABCD, AD = 12, AK : KC = 5 : 7, AN : NB = 6 : 5. Нужно найти BC. Так как DK - биссектриса \(\angle ADC\), то \(\angle ADK = \angle CDK\). Поскольку AD || BC, то \(\angle ADK = \angle BKC\) как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle CDK = \angle AKD\), значит, \(\triangle CDK\) - равнобедренный, DK = CK. По свойству биссектрисы в треугольнике ADC: \(\frac{AK}{KC} = \frac{AD}{DC}\), \(\frac{5}{7} = \frac{12}{DC}\). Отсюда, DC = \(\frac{7 * 12}{5} = \frac{84}{5}\). Так как \(\frac{AK}{KC} = \frac{5}{7}\), то \(\frac{KC}{AC} = \frac{7}{12}\). Так как \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\), то \(\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA}\) и \(\frac{BC}{AD} = \frac{CK}{AK}\). Тогда \(\frac{BC}{12} = \frac{KC}{AK} = \frac{7}{5}\), следовательно BC = \(\frac{7}{12} * AD = \frac{5}{7} * AC\), \(\frac{7}{12} * 12 = \frac{84}{5}\) = 7. По условию AN : NB = 6 : 5, значит \(\frac{AN}{AB} = \frac{6}{11}\), \(\frac{BN}{BA} = \frac{5}{11}\). Т.к. треугольники ANK и CNB подобны, то AK : KC = AN : NB. Из подобия треугольников CKD и AKD, \(\frac{CK}{AK} = \frac{BC}{AD}\). Пусть BC = x. Тогда \(\frac{7}{5} = \frac{x}{12}\), откуда x = \(\frac{7 * 12}{5} = \frac{84}{5} = 16.8\). Так как DK - биссектриса угла ADC, и DK пересекает AC в точке K, то по свойству биссектрисы \(\frac{AK}{KC} = \frac{AD}{DC}\), значит \(\frac{5}{7} = \frac{12}{DC}\), DC = 16.8. Т.к. AD || BC, то треугольники COK и AOK подобны, и \(\frac{CO}{OA} = \frac{CK}{KA} = \frac{7}{5}\). Тогда \(\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{AC} = \frac{7}{12}\). \(BC = \frac{7}{12} * AD = \frac{7}{12} * 12 = 7\). Ответ: 7