Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью 10/13 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 – p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначим вероятность увеличения на 1 как \( p = \frac{10}{13} \).
2. Вероятность уменьшения на 1 как \( q = 1 - p = 1 - \frac{10}{13} = \frac{3}{13} \).
3. Начальное состояние \( x_0 = 0 \). Целевое состояние \( x = -1 \).
4. Для случайного блуждания, когда \( p
   e q \), вероятность достижения определённой границы (в данном случае -1) может быть рассчитана.
5. Если \( p > q \) (что верно в нашем случае: \( \frac{10}{13} > \frac{3}{13} \)), то вероятность достижения отрицательной границы (например, -1) равна \( (q/p)^k \), где k - расстояние от начальной точки до границы (в данном случае, от 0 до -1, k=1).
6. Однако, здесь нам нужно найти вероятность того, что *какой-то* член последовательности окажется равен -1. В случае, если \(p > q \), случайное блуждание с большой вероятностью будет уходить в плюс бесконечность, и вероятность достижения -1 может быть меньше 1.
7. Для одномерного случайного блуждания, где \( p eq q \), вероятность достижения границы \( a < 0 \) из \( x_0 = 0 \) равна \( (q/p)^{x_0 - a} \) если \( p > q \), и \( 1 \) если \( p < q \) (при условии, что граница \( a \) достижима).
8. В нашем случае \( x_0 = 0 \), \( a = -1 \), \( p = \frac{10}{13} \), \( q = \frac{3}{13} \). Так как \( p > q \), то вероятность достижения \( -1 \) из \( 0 \) равна:
9. \( P( ext{достичь -1}) = (rac{q}{p})^{0 - (-1)} = (rac{3/13}{10/13})^1 = rac{3}{10} \).
10. Другой способ рассмотреть: Пусть \( P_i \) — вероятность того, что последовательность достигнет -1, начиная с числа \( i \).
11. \( P_0 = \frac{10}{13} P_1 + rac{3}{13} P_{-1} \).
12. Мы знаем, что \( P_{-1} = 1 \) (если мы уже в -1, то мы его достигли).
13. \( P_0 = rac{10}{13} P_1 + rac{3}{13} \).
14. Также \( P_1 = rac{10}{13} P_2 + rac{3}{13} P_0 \).
15. Для \( p > q \) случайное блуждание имеет тенденцию уходить в бесконечность. Вероятность возвращения в ноль равна \( 1 - 2 rac{q}{p} \) (если \( p > q \)).
16. В более общем случае, для блуждания, которое не является симметричным (p != q), вероятность достичь границы \( a < 0 \) из \( x_0 = 0 \) равна \( (rac{q}{p})^{x_0 - a} \).
17. Здесь \( x_0=0 \) и \( a=-1 \), \( p=rac{10}{13}, q=rac{3}{13} \). \( p > q \).
18. Вероятность достичь -1 равна \( (rac{3/13}{10/13})^{0 - (-1)} = (rac{3}{10})^1 = rac{3}{10} \).

Ответ: 0,3