3. Площадь осевого сечения куба равна 9√2. Найдите полную поверхность куба, ребро которого в два раза больше ребра данного куба.

Пусть ребро данного куба равно $$a$$. Тогда площадь осевого сечения куба (квадрата) равна $$a^2$$. По условию: \[a^2 = 9\sqrt{2}\] Отсюда $$a = \sqrt{9\sqrt{2}} = 3\sqrt[4]{2}$$. Ребро нового куба в два раза больше, то есть $$2a = 2 \cdot 3\sqrt[4]{2} = 6\sqrt[4]{2}$$. Площадь одной грани нового куба равна $$(2a)^2 = (6\sqrt[4]{2})^2 = 36\sqrt{2}$$. Полная поверхность куба состоит из 6 граней, поэтому: \[S_{полн} = 6 cdot (2a)^2 = 6 cdot 36\sqrt{2} = 216\sqrt{2}\] Однако, в условии сказано про площадь *осевого сечения куба*. Осевое сечение куба - это сечение, проходящее через диагональ основания и боковое ребро. Значит, площадь этого сечения равна $$a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$$. Тогда: \[a^2\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\] \[a^2 = 9\] \[a = 3\] Ребро нового куба $$2a = 2 \cdot 3 = 6$$. Площадь одной грани нового куба $$S_{грани} = (2a)^2 = 6^2 = 36$$. Полная поверхность нового куба: \[S_{полн} = 6 cdot S_{грани} = 6 cdot 36 = 216\] Ответ: 216