500 Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм². Развёрнутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объём конуса.

Пусть S - площадь полной поверхности конуса, α - угол сектора развертки боковой поверхности, V - объем конуса, R - радиус основания конуса, l - образующая конуса, h - высота конуса. Площадь полной поверхности конуса $$S = \pi R (R + l)$$. Угол сектора развертки $$ \alpha = \frac{R}{l} \cdot 360^\circ $$. Объем конуса $$ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h $$. По условию $$ S = 45\pi \text{ дм}^2$$, $$ \alpha = 60^\circ $$. Выразим R через l: $$ 60 = \frac{R}{l} \cdot 360 $$, отсюда $$ R = \frac{60}{360}l = \frac{1}{6}l $$. Подставим это в формулу площади полной поверхности: $$ 45\pi = \pi \frac{1}{6}l (\frac{1}{6}l + l) = \pi \frac{1}{6}l (\frac{7}{6}l) = \frac{7}{36} \pi l^2 $$. $$ l^2 = \frac{45 \cdot 36}{7} $$, $$ l = \sqrt{\frac{45 \cdot 36}{7}} = \frac{6 \sqrt{45}}{\sqrt{7}} = \frac{18 \sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{18 \sqrt{35}}{7} $$. $$ R = \frac{1}{6} \cdot \frac{18 \sqrt{35}}{7} = \frac{3 \sqrt{35}}{7} $$. $$ h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{\frac{45 \cdot 36}{7} - \frac{9 \cdot 35}{49}} = \sqrt{\frac{1620}{7} - \frac{315}{49}} = \sqrt{\frac{11340 - 315}{49}} = \sqrt{\frac{11025}{49}} = \frac{105}{7} = 15 $$. Тогда $$ V = \frac{1}{3} \pi (\frac{3 \sqrt{35}}{7})^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \frac{9 \cdot 35}{49} \cdot 15 = \pi \frac{315}{49} \frac{15}{3} = \pi \frac{4725}{147} = \pi \frac{1575}{49} = \pi \frac{225}{7} = \frac{225}{7} \pi \text{ дм}^3 $$. Ответ: $$ \frac{225}{7} \pi \text{ дм}^3 $$.