497 Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объём конуса, если его высота равна Н.

Пусть h - высота конуса, r - радиус основания конуса, V - объем конуса. По условию, высота конуса равна диаметру его основания, то есть $$h = 2r$$. Также известно, что высота конуса равна H, то есть $$h = H$$. Следовательно, $$2r = H$$, откуда $$r = \frac{H}{2}$$. Объем конуса равен $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$. Подставим известные значения: $$V = \frac{1}{3} \pi (\frac{H}{2})^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{H^2}{4} H = \frac{\pi H^3}{12}$$. Ответ: $$V = \frac{\pi H^3}{12}$$