495 Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.

Пусть $$H$$ - высота исходного конуса, $$h$$ - высота отсеченного конуса, $$R$$ - радиус основания исходного конуса, $$r$$ - радиус основания отсеченного конуса, $$V$$ - объем исходного конуса, $$v$$ - объем отсеченного конуса. По условию задачи, $$H = 5$$ см, $$h = 2$$ см, $$v = 24$$ см³. Так как плоскость, пересекающая конус, параллельна основанию, то отсеченный конус подобен исходному. Следовательно, отношение их высот равно отношению их радиусов: $$\frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{2}{5}$$ $$r = \frac{2}{5}R$$ Объем отсеченного конуса: $$v = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{2}{5}R)^2 (2) = \frac{8}{75} \pi R^2$$ Из условия $$v = 24$$ см³ получаем: $$24 = \frac{8}{75} \pi R^2$$ $$\pi R^2 = \frac{24 \cdot 75}{8} = 3 \cdot 75 = 225$$ Объем исходного конуса: $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} (225) (5) = \frac{1125}{3} = 375 \text{ см}^3$$ Ответ: 375 см³.