3. Площадь прямоугольного треугольника равна 242√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину ка- тета, прилежащего к этому углу.

Краткое пояснение: Используем формулу площади прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.

Пусть данный прямоугольный треугольник - \( \triangle ABC \), где \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 60^{\circ} \). Пусть \( AC = x \) - прилежащий катет к углу \( A \), а \( BC \) - противолежащий катет. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \] Также мы знаем, что: \[ \tan A = \frac{BC}{AC} \] \[ \tan 60^{\circ} = \frac{BC}{x} \] \[ BC = x \cdot \tan 60^{\circ} = x \cdot \sqrt{3} \] Подставим \( BC \) в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \sqrt{3} \] \[ 242\sqrt{3} = \frac{1}{2} x^2 \sqrt{3} \] \[ x^2 = \frac{242 \sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} \] \[ x^2 = 242 \cdot 2 = 484 \] \[ x = \sqrt{484} = 22 \]