6. Площадь прямоугольного треугольника равна \frac{392\sqrt{3}}{3}. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, где a - катет, прилежащий к углу 30°, а b - катет, противолежащий углу 30°.

Площадь прямоугольного треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab$$

Также известно, что $$tg(30°) = \frac{b}{a}$$, откуда $$b = a \cdot tg(30°) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$.

Подставим в формулу площади: $$S = \frac{1}{2}a \cdot a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a^2}{2\sqrt{3}}$$.

$$S = \frac{392\sqrt{3}}{3}$$.

$$\frac{a^2}{2\sqrt{3}} = \frac{392\sqrt{3}}{3}$$.

$$a^2 = \frac{2\sqrt{3} \cdot 392\sqrt{3}}{3}$$.

$$a^2 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 392}{3} = 2 \cdot 392 = 784$$.

$$a = \sqrt{784} = 28$$.

Ответ: 28