3. Площадь прямоугольного треугольника равна 200√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ с углом $$\angle A = 60^\circ$$, тогда $$\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Площадь $$S = 200\sqrt{3}$$.

Пусть $$a$$ - катет, противолежащий углу $$A$$, и $$b$$ - катет, прилежащий к углу $$A$$. Тогда площадь прямоугольного треугольника можно выразить как:

$$ S = \frac{1}{2}ab $$

Выразим $$a$$ через $$b$$:

$$\tan A = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \tan A = b \tan 60^\circ = b \sqrt{3}$$

Подставим в формулу площади:

$$ S = \frac{1}{2}b \cdot b\sqrt{3} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{2} $$

Выразим $$b$$:

$$ b^2 = \frac{2S}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 200\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 400 \Rightarrow b = \sqrt{400} = 20 $$

Ответ: 20