17. Площадь прямоугольного треугольника равна 800√3. Один из острых углов равен 60°. Найлите длину гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90°, угол A = 60°, тогда угол B = 30°. Площадь равна 800√3.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = 1/2 * AC * BC.

Пусть AC = x. Тогда BC = x * tg 60° = x * √3. S = 1/2 * x * x√3 = 1/2 * x^2 * √3.

Тогда 1/2 * x^2 * √3 = 800√3. x^2 = 1600. x = 40. AC = 40.

BC = 40√3.

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2 = 40^2 + (40√3)^2 = 1600 + 1600*3 = 1600 + 4800 = 6400.

AB = \sqrt{6400} = 80.

Ответ: 80