15) Площадь прямоугольного треугольника равна 800.3. Один из утов равен 60. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Ответ: 20

1. Обозначим:
• Площадь треугольника S = 800√3/3
• Один из углов α = 60°
• Катет, лежащий напротив угла α, a
• Катет, прилежащий к углу α, b = ?
2. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab\]
3. Выразим катет a через катет b и угол α: \[tg \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot tg \alpha\]
4. Подставим выражение для а в формулу площади: \[S = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot tg \alpha = \frac{b^2 \cdot tg \alpha}{2}\]
5. Выразим b^2: \[b^2 = \frac{2S}{tg \alpha}\]
6. Найдем b: \[b = \sqrt{\frac{2S}{tg \alpha}}\]
7. Вычислим: \[b = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{800\sqrt{3}}{3}}{tg 60^\circ}} = \sqrt{\frac{\frac{1600\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{1600\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{1600}{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}}\]
8. Так как \(tg 60^\circ = \sqrt{3}\), то: \[ b = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{800\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{40}{\sqrt{3}}\]

Ответ: 20