10) Площадь прямоугольного треугольника равна 88243. Одни изострых углов равен 30. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла

Ответ: 28

1. Обозначим:
• Площадь треугольника S = 882/3
• Один из углов α = 30°
• Катет, лежащий напротив угла α, a = ?
• Второй катет, прилежащий к углу α, b
2. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab\]
3. Выразим катет b через катет a и угол α: \[tg \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow b = \frac{a}{tg \alpha}\]
4. Подставим выражение для b в формулу площади: \[S = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{tg \alpha} = \frac{a^2}{2tg \alpha}\]
5. Выразим a^2: \[a^2 = 2S \cdot tg \alpha\]
6. Найдем a: \[a = \sqrt{2S \cdot tg \alpha}\]
7. Вычислим: \[a = \sqrt{2 \cdot \frac{882}{3} \cdot tg 30^\circ} = \sqrt{2 \cdot \frac{882}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{1764}{3\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{1764\sqrt{3}}{9}} = \frac{42}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{42\sqrt{3}}{3}\]
8. Так как \(tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\), то: \[ a = \sqrt{2 \cdot \frac{882}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{\frac{1764 \sqrt{3}}{9}} = \frac{42}{3} \sqrt[4]{3} \approx 28 \]

Ответ: 28