7.12 Площадь прямоугольного треугольника равна 210 см², гипотенуза равна 37 см. Найдите периметр этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$, а гипотенуза $$c$$. Дано, что $$S = 210$$ см² и $$c = 37$$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна $$\frac{1}{2}ab$$, значит, $$\frac{1}{2}ab = 210$$, откуда $$ab = 420$$.

По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = c^2$$, то есть $$a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$$.

Имеем систему уравнений:

$$\begin{cases} ab = 420 \\ a^2 + b^2 = 1369 \end{cases}$$

Выразим $$b$$ через $$a$$ из первого уравнения: $$b = \frac{420}{a}$$. Подставим это во второе уравнение:

$$a^2 + (\frac{420}{a})^2 = 1369$$

$$a^2 + \frac{176400}{a^2} = 1369$$

$$a^4 - 1369a^2 + 176400 = 0$$

Пусть $$t = a^2$$, тогда $$t^2 - 1369t + 176400 = 0$$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-1369)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 176400 = 1874161 - 705600 = 1168561 = 1081^2$$

$$t_1 = \frac{1369 + \sqrt{1168561}}{2} = \frac{1369 + 1081}{2} = 1225$$

$$t_2 = \frac{1369 - \sqrt{1168561}}{2} = \frac{1369 - 1081}{2} = 144$$

Тогда,

$$a^2 = 1225$$, $$a = \sqrt{1225} = 35$$

$$a^2 = 144$$, $$a = \sqrt{144} = 12$$

Если $$a = 35$$, то $$b = \frac{420}{35} = 12$$. Если $$a = 12$$, то $$b = \frac{420}{12} = 35$$.

Тогда периметр треугольника равен:

$$P = a + b + c = 35 + 12 + 37 = 84$$

Ответ: 84 см.