7.11 Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр треугольника.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника, где $$a > b$$. Гипотенуза $$c = 37$$ дм. По условию, $$a - b = 23$$. Нужно найти периметр треугольника $$P = a + b + c$$.

По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = c^2$$, то есть $$a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$$.

Имеем систему уравнений:

$$\begin{cases} a - b = 23 \\ a^2 + b^2 = 1369 \end{cases}$$

Выразим $$a$$ через $$b$$ из первого уравнения: $$a = b + 23$$. Подставим это во второе уравнение:

$$(b + 23)^2 + b^2 = 1369$$

$$b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369$$

$$2b^2 + 46b - 840 = 0$$

$$b^2 + 23b - 420 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209 = 47^2$$

$$b_1 = \frac{-23 + \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23+47}{2} = 12$$

$$b_2 = \frac{-23 - \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23-47}{2} = -35$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Если $$b = 12$$, то $$a = 12 + 23 = 35$$.

Тогда периметр треугольника равен:

$$P = a + b + c = 35 + 12 + 37 = 84$$

Ответ: 84 дм.