07.13. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, а его гипотенуза равна 41 м. Найдите площадь треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна $$S = \frac{1}{2}ab$$.

Из условия задачи известно, что:

$$a + b = 49$$

$$a^2 + b^2 = 41^2 = 1681$$

Выразим a через b: $$a = 49 - b$$

Подставим в уравнение $$a^2 + b^2 = 1681$$

{$$(49 - b)^2 + b^2 = 1681$$

$$2401 - 98b + b^2 + b^2 = 1681$$

$$2b^2 - 98b + 720 = 0$$

$$b^2 - 49b + 360 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно b:

$$D = (-49)^2 - 4 cdot 1 cdot 360 = 2401 - 1440 = 961 = 31^2$$

$$b_1 = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40$$

$$b_2 = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Если $$b = 40$$, то $$a = 49 - 40 = 9$$. Если $$b = 9$$, то $$a = 49 - 9 = 40$$.

Найдем площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} cdot 40 cdot 9 = 20 cdot 9 = 180 \text{ м}^2$$

Ответ: Площадь треугольника равна 180 м².