17. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{50\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть \(a\) - катет, прилежащий к углу 30°, а \(b\) - катет, противолежащий углу 30°. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \[S = \frac{1}{2}ab\] Известно, что \(\angle A = 30^\circ\), тогда \(b = a \cdot tg(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\) Подставим в формулу площади: \[S = \frac{1}{2} a \cdot a \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{6}\] Дано, что \(S = \frac{50 \sqrt{3}}{3}\), тогда: \[\frac{a^2 \sqrt{3}}{6} = \frac{50 \sqrt{3}}{3}\] \[a^2 = \frac{50 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{3}} = 50 \cdot 2 = 100\] \[a = \sqrt{100} = 10\] **Ответ: 10**