3. Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30° к нему, равна 75л см². Найдите диаметр шара.

1. Площадь сечения шара плоскостью равна $$75\pi$$ см². Площадь сечения равна $$S = \pi r^2$$, где r - радиус сечения. Тогда $$\pi r^2 = 75\pi$$, $$r^2 = 75$$, $$r = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$ см.

2. Плоскость проведена через конец диаметра под углом 30° к нему. Расстояние от центра шара до плоскости равно $$d = R \cdot cos(30°) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$, где R - радиус шара.

3. Радиус сечения $$r$$, расстояние от центра шара до сечения d и радиус шара R связаны соотношением $$R^2 = r^2 + d^2$$. Подставим известные значения: $$R^2 = (5\sqrt{3})^2 + (R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2$$, $$R^2 = 75 + R^2 \cdot \frac{3}{4}$$, $$\frac{1}{4}R^2 = 75$$, $$R^2 = 300$$, $$R = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$ см.

4. Диаметр шара равен $$D = 2R = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$20\sqrt{3}$$ см