3. Площадь сечения шара плоскостью, проведённой через конец диаметра под углом 30° к нему, равна 75π см². Найдите диаметр шара.

Пусть (R) - радиус шара, (r) - радиус сечения, (d) - диаметр шара, и (\alpha) - угол между плоскостью сечения и диаметром. Дано: площадь сечения (S = 75\pi) см² и (\alpha = 30°). Площадь сечения шара плоскостью вычисляется по формуле: (S = \pi r^2) Отсюда найдем радиус сечения: \(75\pi = \pi r^2\) (r^2 = 75) (r = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}) см Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сечения (r), радиусом шара (R) и расстоянием от центра шара до плоскости сечения. Угол между радиусом шара и линией, соединяющей центр шара с точкой на окружности сечения (радиусом сечения), равен 30°. Тогда: \(r = R \sin(\alpha)\) (5\sqrt{3} = R \sin(30°)) Так как \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), то: (5\sqrt{3} = R \cdot \frac{1}{2}) (R = 10\sqrt{3}) см Диаметр шара (d = 2R): (d = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}) см Ответ: Диаметр шара равен (20\sqrt{3}) см.