2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть (h) - высота конуса, (l) - образующая, (r) - радиус основания, а (2\alpha) - угол при вершине осевого сечения. Тогда (\alpha = 90° / 2 = 45°). Высота конуса равна 6 см. Рассмотрим осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник с углом при вершине 90°. Высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Таким образом, она делит осевое сечение на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Тогда радиус основания конуса равен высоте, так как тангенс угла 45° равен 1: (r = h = 6) см Образующая конуса (l) является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой и радиусом. По теореме Пифагора: (l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{2 \cdot 6^2} = 6\sqrt{2}) см Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: (S_{бок} = \pi r l) Подставим известные значения: (S_{бок} = \pi \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\pi) см² Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна (36\sqrt{2}\pi) см².