9.20. Плоскость а, перпендикулярная катету АС прямоугольного треуголь ника АВС, пересекает катет АС в точке Е, а гипотенузу АВ - в точ- ке F. Найдите отрезок EF, если АЕ : ЕС = 3 : 4, ВС = 21 см.

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках. Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Плоскость α пересекает катет AC в точке E и гипотенузу AB в точке F, причем EF || BC (так как плоскость α перпендикулярна AC). Таким образом, EF отсекает от треугольника ABC треугольник AEF, подобный треугольнику ABC.

2. Запишем отношение AE : EC = 3 : 4. Пусть AE = 3x, тогда EC = 4x. Следовательно, AC = AE + EC = 3x + 4x = 7x.

3. Так как EF || BC, то треугольники AEF и ABC подобны. Запишем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{AE}{AC} = \frac{EF}{BC}$$

4. Подставим известные значения:

$$\frac{3x}{7x} = \frac{EF}{21}$$

5. Сократим x в левой части уравнения:

$$\frac{3}{7} = \frac{EF}{21}$$

6. Решим уравнение относительно EF:

$$EF = \frac{3}{7} \cdot 21 = 3 \cdot 3 = 9$$

Таким образом, отрезок EF равен 9 см.

Ответ: 9 см