9.21. В тетраэдре DABC известно, что AB = AC, ∠BAD = ∠CAD. Докажи- те, что AD 1 BC.

Для доказательства того, что AD перпендикулярно BC, воспользуемся свойствами равнобедренных треугольников и признаками перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = AC, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. Пусть AM - медиана треугольника ABC, проведенная к основанию BC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. Следовательно, AM ⊥ BC и ∠BAM = ∠CAM.

2. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Из условия задачи известно, что AB = AC и ∠BAD = ∠CAD. Сторона AD является общей для этих треугольников. Таким образом, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

3. Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = CD. Следовательно, треугольник BCD также является равнобедренным с основанием BC. Пусть DM - медиана треугольника BCD, проведенная к основанию BC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. Следовательно, DM ⊥ BC.

4. Теперь мы имеем две прямые AM и DM, перпендикулярные BC. Поскольку AM и DM лежат в плоскости ADM, то BC перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

5. Следовательно, AD лежит в плоскости ADM, и BC перпендикулярна AD.

Ответ: Прямая AD перпендикулярна BC.