9.22. В тетраэдре DABC известно, что ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB. Докажите, что BD 1 АС.

1. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. По условию ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB, а сторона BD – общая. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

2. Из равенства треугольников ABD и CBD следует, что AB = CB и AD = CD. Это означает, что треугольники ABC и ADC – равнобедренные с основаниями AC.

3. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = CB, треугольник ABC - равнобедренный. Проведём медиану BM к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, BM ⊥ AC.

4. Рассмотрим треугольник ADC. Так как AD = CD, треугольник ADC - равнобедренный. Проведём медиану DM к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, DM ⊥ AC.

5. Таким образом, BM ⊥ AC и DM ⊥ AC. Значит, прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BM и DM, лежащим в плоскости BDM. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, AC ⊥ плоскости BDM.

6. Так как прямая BD лежит в плоскости BDM, а AC перпендикулярна плоскости BDM, то AC перпендикулярна прямой BD. Следовательно, BD ⊥ AC.

Ответ: Прямая BD перпендикулярна прямой AC.