Плоскость, проходящая через точки А, В и С, разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?

Решение:

Тетраэдр имеет 4 вершины и 4 грани (треугольники). Плоскость, проходящая через три вершины тетраэдра (например, A, B, C), отсекает от него меньший многогранник (треугольную пирамиду, если A, B, C не лежат на одной грани тетраэдра, или другой многогранник, если они лежат на одной грани). Большая часть тетраэдра остаётся.

Рассмотрим случай, когда плоскость проходит через три вершины тетраэдра, например, A, B, C. При этом образуется новый многогранник, который является частью исходного тетраэдра. У этого многогранника будет 4 вершины (A, B, C и оставшаяся вершина тетраэдра, назовём её D).

Если плоскость проходит через три вершины, например A, B, C, то она отсекает треугольную пирамиду ABCS (где S — четвертая вершина). Оставшаяся часть тетраэдра будет многогранником с вершинами A, B, C, D. У этого многогранника будет 4 вершины.

Если плоскость проходит через три точки, не являющиеся вершинами одновременно, например, три точки на ребрах, то многогранник может иметь больше вершин.

Однако, условие задачи подразумевает, что плоскость проходит через точки A, B, C, которые являются вершинами тетраэдра. В этом случае, плоскость отсекает от тетраэдра треугольную пирамиду (если A, B, C не лежат на одной грани). Оставшийся многогранник имеет 4 вершины (A, B, C и четвертую вершину тетраэдра).

Если плоскость проходит через вершины A, B, C, то она совпадает с одной из граней тетраэдра, если эти вершины лежат на одной грани. В этом случае, тетраэдр не разбивается на два многогранника. Это противоречит условию.

Предположим, что A, B, C — вершины, лежащие на разных гранях, и плоскость, проходящая через них, отсекает часть тетраэдра. Тогда многогранник, который остался, будет иметь вершины: A, B, C и четвертую вершину тетраэдра (обозначим ее D). Таким образом, у получившегося многогранника 4 вершины.

Больший многогранник, который остается после отсечения меньшего, будет иметь 4 вершины.

Ответ: 4