По данным на рисунке найдите ∠АМВ, если ОА = АВ, а прямые МА и МВ являются 12. касательными к окружности. Ответ дайте в градусах.

12. Пусть $$ \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ $$, так как $$MA$$ и $$MB$$ - касательные к окружности.

Пусть $$ \angle OAB = x $$

Так как $$ OA = AB $$, то треугольник $$ OAB $$ - равнобедренный.

Значит, $$ \angle AOB = 180^\circ - 2x $$

Рассмотрим четырехугольник $$ OAMB $$. Сумма углов четырехугольника равна $$ 360^\circ $$.

$$ \angle OAM + \angle AMB + \angle MBO + \angle AOB = 360^\circ $$

$$ 90^\circ + \angle AMB + 90^\circ + 180^\circ - 2x = 360^\circ $$

$$ \angle AMB - 2x = 0 $$

$$ \angle AMB = 2x $$

Так как $$ \angle OAB = x $$, то $$ OA = AB $$. Тогда $$ \angle AOB = 180^\circ - 2x $$.

По теореме синусов:

$$\frac{OA}{sin \angle OBA} = \frac{AB}{sin \angle AOB} = \frac{OB}{sin \angle OAB}$$

$$\frac{OA}{sin x} = \frac{OA}{sin (180^\circ - 2x)} = \frac{OB}{sin x}$$

$$ OB = 2OA \cdot cos x $$

Так как $$ \angle OMB = 90^\circ $$, то $$ sin \angle OBM = \frac{OM}{OB} $$

$$ sin (90^\circ - x) = \frac{OA}{2OA \cdot cos x} $$

$$ cos x = \frac{1}{2 cos x} $$

$$ cos^2 x = \frac{1}{2} $$

$$ cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$$ x = 45^\circ $$

$$ \angle AMB = 2x = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ $$

Ответ: $$90$$